AGUJEROS NEGROS Y VELOCIDAD DE ESCAPE
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PARECE QUE EINSTEIN ESTABA EQUIVOCADO...
Si escribes un artículo de divulgación científica sobre dinosaurios es conveniente utilizar el nombre “Tiranosaurio Rex” como gancho. Si la nueva especie de la que quieres hablar es grande o carnívora, hay que añadir una frase del tipo: “Esta nueva especie encontrada es carnívora, como el Tiranosaurio Rex, aunque no tan grande como él”. Y si no lo es, hay que escribir algo del tipo: “Este nuevo especimen se cree que es herbívoro, al contrario que el Tiranosaurio Rex”. Sucede algo similar cuando quieres divulgar sobre astronomía o astrofísica, si no nombras los “agujeros negros”, usas expresiones como “cuántica”, “relatividad”, “antimateria”, o afirmas que tal idea “podría demostrar que Einstein estaba equivocado”, no conseguirás captar la atención del lector.
Hoy veremos un sólo concepto, pero lo exprimiremos un montón. No tiene un nombre muy llamativo, se llama “velocidad de escape”, pero si continúas leyendo lo podrás aplicar a planetas, estrellas, asteroides… y también a los agujeros negros.
Durante el artículo aparecerán un par de fórmulas, pero no habrá demostraciones, deducciones, ni páginas y páginas con símbolos extraños. Cada vez que aparezca una fórmula se explicará qué representa, qué significa cada letra que la compone y poco más, ¡ya la podrás utilizar!. Si te perturba profundamente ver fórmulas matemáticas, ignóralas, las fórmulas son sólo una forma compacta de describir aquello que también se dirá con palabras.
Si no tienes calculadora científica, aquí tienes una calculadora online que yo utilizo constantemente:
LA VELOCIDAD DE ESCAPE
Si lanzamos una piedra hacia arriba esta volverá a caer al suelo. Si lanzamos la piedra con más fuerza esta vez se elevará más alto y tardará más en caer. Si pudiéramos lanzar la piedra con suficiente velocidad incluso podría no caer, entrando en órbita alrededor de la Tierra. Esta es una de las ideas que inspiró a Isaac Newton para desarrollar las leyes de la gravitación y entender las órbitas de la Luna y los planetas. Conceptualmente estar en órbita es similar a estar en una eterna caída.
¿Y si lanzamos la piedra más fuerte aún?. Hay una velocidad a la cual, si lanzamos la piedra, esta se alejará para siempre de la Tierra, sin quedar siquiera atrapada en una órbita. A esta velocidad mínima a la que tenemos que lanzar un objeto para que pueda escapar completamente de la influencia gravitatoria de otro la llamamos velocidad de escape. Es importante entender que es la velocidad a la que tendríamos que lanzar algo si todo el impulso lo diéramos en el momento del lanzamiento, sin propulsión extra después, así que no debemos confundirlo con la velocidad que tiene que alcanzar un cohete o una nave espacial para salir al espacio.
En la superficie del planeta Tierra sabemos que la velocidad de escape es de 11.18Km/s. Para hacernos una idea, las balas del calibre .44 Magnum de Harry el sucio tienen una velocidad de salida de 0.45Km/s, unas 25 veces por debajo de la velocidad de escape.
La velocidad de escape de la superficie de un planeta, un asteroide, una estrella, etc. se calcula con la siguiente fórmula. No veremos su deducción, pero para los más curiosos diré que se obtiene calculando la suma de la energía cinética y potencial de la piedra al inicio y al final de su viaje, por conservación de la energía habrán de sumar lo mismo:
v es la velocidad de escape del planeta en m/s
G es la constante de gravitación universal y vale 6.67384x10-11N·m2/Kg2
M es la masa del planeta en Kg
R es el radio del planeta en m. Hemos de considerar una forma aproximadamente esférica. |
Cabe destacar de la fórmula que no tenemos que introducir ningún dato de la piedra. La velocidad de escape de la superficie de un planeta tan sólo depende de las características físicas del planeta (su tamaño y su masa), no depende de qué queremos que escape.
En la fórmula vemos que cuanta más masa M tiene el planeta más alta será la velocidad de escape. También podemos ver que, como el radio R está en el denominador, un radio más grande nos dará una velocidad de escape más pequeña.
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Ejemplo 1:
La velocidad de escape de la Tierra es mayor que la de la Luna, pero ¿cuántas veces más grande?.
Partimos de los siguientes datos obtenidos de Wikipedia:
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TIERRA |
LUNA |
| MASA (Kg) |
5.9742×1024 |
7.3477×1022 |
| RADIO MEDIO (m) |
6378150 |
1737100 |
Mostrar respuesta | - Vamos a calcular primero la velocidad de escape de la Tierra, así que aplicamos directamente la fórmula:
Así que la velocidad de escape para la Tierra es: v = 11181.38m/s, es decir, 11.18Km/s.
- Si calculamos ahora del mismo modo la velocidad de escape de la Luna (tenemos sus datos M y R en la tabla), obtenemos:
los valores numéricos para la Luna nos llevan a escribir la fórmula de esta manera:
Y la velocidad de escape para la Luna es: v = 2376.11m/s, o lo que es lo mismo, 2.38Km/s
| Concluimos por tanto que la velocidad de escape de la Tierra es unas 5 veces mayor que la de la Luna (4.7 veces). |
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AHORA SÍ, LOS AGUJEROS NEGROS
¿Qué sucede si una estrella tiene tanta masa y es tan pequeña que la velocidad de escape sobre su superficie es mayor que la velocidad de la luz?. ¡Ajá!, pues que por mucha luz que emita quedará atrapada por su gravedad. Acabamos de describir lo que es un agujero negro, un cuerpo tal que la velocidad de escape llega o supera a la velocidad de la luz en su superficie.
Para objetos tan singulares como los agujeros negros, que deforman el espacio, el tiempo, etc, el cálculo de la velocidad de escape se ha de hacer aplicando la teoría de la relatividad de Einstein, pero curiosamente, tras montones y montones de cuentas, la fórmula coincide exactamente con la que ya hemos visto, siempre que el agujero negro sea esférico, no tenga rotación y sea eléctricamente neutro (para nuestras pretensiones es más que suficiente). Si escribimos la fórmula de la velocidad de escape, pero sustituyendo la velocidad v por la letra c (que representa la velocidad de la luz en el vacío), el radio R representará entonces el horizonte de sucesos:
El horizonte de sucesos delimita el tamaño de la oscuridad del agujero negro, la distancia hasta la que incluso la luz quedará atrapada por la gravedad:
para no confundir esta R con la que solemos utilizar para representar el radio de la estrella, planeta, etc, al horizonte de sucesos lo llamaremos radio de Schwarzschild y lo representaremos con las letras rs. De esta manera la fórmula queda así:
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c es la velocidad de la luz en el vacío, 299792458m/s
G es la constante de gravitación universal 6.67384x10-11N·m2/Kg2
M es la masa total del agujero negro, medida en Kg
rs es el radio del horizonte de sucesos o radio de Schwarzschild (los confines de la negrura), expresado en metros.
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Básicamente, lo que nos viene a decir esta fórmula, es que si aumentamos la masa de un agujero negro (M), el horizonte de sucesos rs se hace también más grande.
Una masa de radio R podría no dejar escapar luz a una distancia mayor que su radio, eso es lo que representa la distancia rs. Diferenciamos por tanto entre el radio del agujero negro R, y el de su horizonte de sucesos rs, este último es el tamaño con le que veremos al agujero negro, la distancia a la que atrapa incluso a la luz.
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Ejemplo 2:
Hace unos días se publicó la noticia de que el centro de vuelo espacial Goddard de la NASA había conseguido una simulación por ordenador estupenda sobre la fusión de dos estrellas de neutrones. Esta es la simulación publicada:
Dicen que este tipo de fusión daría lugar a la formación de un agujero negro y explicaría también un tipo de explosiones de rayos Gamma que detectamos de vez en cuando desde la Tierra, y que aún son un misterio. La cuestión es que leyendo el texto que acompaña a la simulación vemos que implica a dos estrellas de neutrones, una de 1.4 masas solares, y la otra de 1.7 masas solares. Si es cierto que fusionándolas obtenemos un agujero negro, ¿cómo será de grande su negrura, es decir, su horizonte de sucesos?.
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No nos queda otra que calcular el radio de Schwarzschild, suponiendo que el agujero negro tenga una masa igual a la suma de estas dos estrellas. Así que tenemos 1.4 + 1.7 = 3.1 masas solares. Como el Sol tiene una masa de 1.9891x1030Kg (de nuevo un dato obtenido de Wikipedia), la masa total será de 3.1·1.9891x1030 = 6.16621x1030Kg
por tanto, aplicando la fórmula directamente:
rs = 9158m, ó unos 9.2Km.
Así de sencillo. Por cierto, estas 3.1 masas solares están cerca de la masa mínima que se cree necesaria para formar un agujero negro mediante colapso gravitatorio, así que de rebote hemos encontrado aproximadamente el horizonte de sucesos más pequeño que creemos que puede existir.
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UN PAR DE RETOS:
Os dejo dos ejercicios a modo de reto que podéis resolver con las fórmulas que hemos visto.
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Reto 1:
Estamos en nuestra nave espacial investigando un misterioso objeto celeste que tiene las dimensiones de nuestra querida Tierra. Los sensores indican que este objeto es completamente homogéneo, no rota y tampoco tiene carga eléctrica, pero lo más raro y que nos parece imposible es que su masa aumenta de forma constante y poco a poco ¡aparentemente de la nada y sin modificar su tamaño!. Tras semanas de observación el ordenador de abordo nos indica que el objeto está a punto de llegar al punto crítico en el que va a formar un agujero negro. Estamos preparados para registrar el momento fatídico. En el momento en el que esto suceda: ¿cómo de grande hemos de esperar ver el agujero negro formado?, ¿cuánta masa tendrá en el preciso instante en el que se convierta?.
Como datos tenemos:
- El radio medio de la Tierra R = 6378150m
- La velocidad de la luz c = 299792458m/s
- La constante de gravitación universal G = 6.67384x10-11N·m2/Kg2
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Justo en el momento en el que se crea el agujero negro rs=R, así que como respuesta a cómo de grande será el agujero negro formado tenemos 6378150m.
La masa total del objeto será 4.29x1033Kg, y la podemos obtener despejando la masa M en la fórmula del radio de Schwarzschild:
Hasta aquí estaría hecho el problema. Pero como curiosidad podríamos calcular también su densidad, haciendo los cálculos veremos que el volumen equivalente a una cucharadita de café (unos 5cm3) son casi 20000 toneladas de masa.
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Reto 2:
Seguimos con descubrimientos extraños. Hemos encontrado un pequeño asteroide esférico habitado por algo similar a lo que son pulgas. Esos bichos, que hemos bautizado como pulgotoides, se trasladan al azar por la superficie del asteroide saltando siempre al máximo de potencia que les proporciona sus patitas, que les dota de una velocidad de salida de 1.9m/s (curiosamente como las pulgas terrestres). Me pregunto si podrían vivir aquí los pulgotoides que encontramos hace unos meses en otro asteroide, su velocidad de salto recuerdo que era de 8m/s.
Como datos tenemos:
- El radio del asteroide (es esférico) R = 3816m
- Masa del asteroide M = 1.28x1015Kg (tiene una densidad similar a la de la Tierra)
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No, aquí no podrían vivir los pulgotoides del otro asteroide, ya que la velocidad de escape del asteroide es:
donde v nos da la cifra de 6.7m/s. Si los pulgotoides saltasen a 8m/s, escaparían al espacio exterior para no volver jamás…
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