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LAS MATEMÁTICAS

Hay problemas clásicos de matemáticas que a todos nos han puesto en el colegio. Muchas personas recuerdan con miedo o frustración aquellos momentos (sobre todo si les sacaban a la pizarra), otros, entre los que me incluyo, recuerdan con nostalgia esos fabulososo problemas de choques de trenes, mezclas de metales y reglas de tres simples y compuestas.

Vamos a hablar de eso, de problemas de los de siempre, aquellos que más nos marcaron en el colegio. A petición de dos amigas mías inauguraremos la sección con los típicos choques y persecuciones de trenes.
 

 Choques y persecuciones de trenes

Los problemas de choques y persecuciones de trenes son los primeros a los que recuerdo aplicar auténticas ecuaciones. Hasta ese momento todos los problemas de matemáticas eran del tipo "si tengo seis peras y me quitan dos, ¿cuántas peras me quedan?". Los trenes chocando, eso sí que eran problemas de mayores.

HAY DOS TIPOS DE PROBLEMAS CON TRENES (*):

1.- LOS TRENES PARTES DE ESTACIONES DISTINTAS Y VAN EL UNO AL ENCUENTRO DEL OTRO:
 

En este caso, cuando chocan, uno de los trenes puede haber recorrido menos distancia que el otro por ir más despacio, o por haber salido más tarde, pero lo que es cierto es que cuando chocan es porque entre los dos han recorrido la distancia que separa las dos ciudades.
 

Fórmula 1

v1 y v2 serán las velocidades de los trenes, t1 y t2 el tiempo que están moviéndose y d la distancia que los separa inicialmente. t0 será el tiempo de ventaja que le lleva el tren 2 al tren 1 (si salen a la vez t0=0).

• Cómo obtener la fórmula: El espacio recorrido por un tren es su velocidad multiplicada por el tiempo que esté moviéndose (s = v · t) , sumamos las de los dos trenes y eso será la distancia que separe las dos ciudades:

Fórmula 1

· Si salen a la vez sustituimos t2 = t1
· Si el tren 1 sale con un t0 de ventaja entonces el tren 2 ha estado menos tiempo caminando y t2 = t1 - t0
· Si es el tren 2 el que sale con tiempo de ventaja entonces t2 = t1 + t0
 

En una sola fórmula que tendría en cuenta las posibles ventajas de un tren sobre el otro sería: 

Fórmula 1 (FÓRMULA 1)
 

Donde tomamos  t0 cuando es el tren 2 el que sale antes que el tren 1, -t0 cuando es el tren 1 el que lleva la ventaja y t0=0 cuando salen a la vez. 



2.- UN TREN PERSIGUE AL OTRO HASTA DARLE ALCANCE:
 

En este caso uno de los trenes sale en búsqueda del otro. Pueden salir desde distintas estaciones y a distintas horas, la cuestión es que cuando un tren alcanza al otro ambos estarán en el mismo lugar, es decir habrán recorrido la misma distancia (salvo la ventaja inicial d que pudiese llevar el tren perseguido). 
 

Fórmula 1

• Cómo obtener la fórmula: El espacio recorrido por un tren es su velocidad multiplicada por el tiempo que esté moviéndose (s = v · t).

· Supongamos que los trenes parten desde el mismo sitio pero que el tren 1 lleva algo de tiempo de ventaja (t0). Cuando el tren 2 alcance al tren 1 ambos habrán recorrido la misma distancia. El tren 1 a su velocidad habrá recorrido una distancia v1·t1, y el tren 2 habrá recorrido v2·t2, donde el tiempo del tren 2 será menor que el del tren 1 (t2=t1-t0):
 
   Fórmula 1   


· Si además el tren 1 llevaba una distancia de ventaja inicial d, el tren 2 tendrá que recorrer lo que ha recorrido el tren 1 más esa distancia extra, es decir, lo mismo que la fórmula anterior pero añadiendo esta ventaja al tren 1. Veremos que la fórmula anterior está englobada por esta si tomamos d=0:
 
  Fórmula 1  
 

· También puede ser que el tren 2 haya salido antes que el tren 1, en este caso t2=t1+t0:
- Si es el tren 1 el que llevaba ventaja entonces el tren 2 habrá estado corriendo menos tiempo: t2=t1-t0.
- Si es el tren 2 el que sale antes, cuando se encuentren habrá estado corriendo más tiempo: t2=t1+t0.
Por tanto la fórmula anterior se transforma en la siguiente dependiendo del caso:
 

Fórmula 1
 
 

En resumen, pondemos el caso de las persecuciones de trenes en una sola fórmula:

Fórmula 1 (FÓRMULA 2)

Donde d es la distancia que hay entre las estaciones y donde tomaremos t0 cuando sea el tren 2 el que sale antes que el tren 1 ó -t0 cuando sea el tren 1 el que lleve la ventaja. Podemos tomar d=0 si salen del mismo sitio y t0=0 si salen a la vez.

 


(*) En todos estos problemas la notación es la siguiente:
· v es velocidad, t es tiempo.
· Los subíndices 1 hacen referencia al tren 1.
· Los subíndices 2 hacen referencia al tren 2.
· ±t0 es el tiempo de ventaja de un tren sobre el otro (el signo dependerá de cada caso). Si no hay ventaja t0=0.
· d es la distancia entre las dos estaciones. Si los trenes salen de la misma estación entonces d=0.


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